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Theses Year : 2014

Geometry of complex Monge-Ampère equations on compact Kähler manifolds

Géométrie des équations de Monge-Ampère complexes sur des variétés kähleriennes compactes.

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Abstract

In the mid 70's, Aubin-Yau solved the problem of the existence of Kähler metrics with constant negative or identically zero Ricci curvature on compact Kähler manifolds. In particular, they proved the existence and regularity of the solution of the complex Monge-Ampère equation (\omega+dd^c \varphi)^n= f\omega^n where the reference form ω is Kähler and the density f is smooth. In this thesis we look at degenerate complex Monge-Ampère equations, where the word “degenerate” stands for the fact that the reference class is merely big and not K ̈ahler or that the densities have some divisorial singularities. When looking at an equation of the type (⋆) (\theta + dd^c \varphi)^n= \mu where \mu is a positive measure, it is not always possible to make sense of the left-hand side of (⋆). It was nevertheless observed by Guedj and Zeriahi that a construction going back to Bedford and Taylor enables in this global setting to define the non-pluripolar part of the would-be positive measure (\theta+dd^c \varphi)^n for an arbitrary \theta-psh function, where \theta represents a big class. The notion of big classes is invariant by bimeromorphism while this is not the case in the Kähler setting. It is therefore natural to study the invariance property of the non-pluripolar product in the wider context of big cohomology classes. We indeed show that it is a bimeromorphic invariant. Generalizing the Aubin-Mabuchi energy functional, Boucksom, Eyssidieux, Guedj and Zeriahi introduced weighted energies associated to big cohomology classes. Under some natural assumptions, we show that such energies are also bimeromorphic invariants. We also investigate probability measures with finite energy (this concept was introduced by Berman, Boucksom, Guedj and Zeriahi) and we show that this notion is a biholomorphic but not a bimeromorphic invariant. Furtheremore, we give criteria insuring that a given measure has finite energy and test these on various examples. We then study complex Monge-Ampère equations on quasi-projective varieties. In particular we consider a compact Kähler manifold X, D a divisor and we look at the equation (\omega+dd^c \varphi)^n= f\omega^n where f is smooth outside D and with a precise behavior near the divisor. We prove that the unique normalized solution \varphi is smooth outside D and we are able to describe its asymptotic behavior near D (joint work with Hoang Chinh Lu). The solution is clearly not bounded in general and thus the idea is to find a convenient “model” function (a priori singular) bounding from below the solution. To do so we introduce generalized Monge-Ampère capacities, and use them following Kolodziej’s approach who deals with globally bounded potentials. These capacities, which generalize the Bedford-Taylor Monge-Ampère capacity, turn out to be the key point when investigating the existence and the regularity of solutions of complex Monge-Ampère equations of type (\omega+dd^c \varphi)^n= f\omega^n where f has divisorial singularities. We also treat some cases when f is not integrable, an important issue for the existence of singular Kähler-Einstein metrics on general type varieties with log-canonical singularities.
Dans les années 70, Aubin-Yau ont résolu le problème de l’existence de metriques kähleriennes à courbure de Ricci constante négative ou nulle sur les variétés kähleriennes compactes. En particulier, ils ont prouvé l’existence et la régularité de la solution de l'equation de Monge-Ampère (\omega+dd^c \varphi)^n= f\omega^n où la forme \omega est kählerienne et la densité f est lisse. Dans cette thèse on étudie les équations de Monge-Ampère dégénérées, où le mot “dégénérée” signifie ou bien que la classe de cohomologie est seulement big et non plus kählerienne, ou que les densités ont des singularités sur un diviseur. Si on considère une équation du type (⋆) (\theta + dd^c \varphi)^n= \mu où \mu est une mesure positive, il n'est pas toujours possible de donner un sens à la partie gauche de (⋆). Cependant, Guedj et Zeriahi ont observé que la construction par suite de Bedford et Taylor permet dans le cas global de d ́efinir la partie non-pluripolaire de la mesure positive (\theta+dd^c \varphi)^n pour toute fonction \theta-psh, où \theta est un represenant lisse dans la classe big. La notion de classes big est invariante par biméromorphisme tandis que ce n'est pas le cas dans le cadre des classes kähleriennes. Donc, il est naturel d'étudier les propriétés d'invariance du produit non-pluripolaire dans le contexte de classes de cohomologie big. En effet, on montre que le produit non-pluripolaire est un invariant biméromorphe. En généralisant la fonctionnelle d'énergie de Aubin-Mabuchi, Boucksom, Eyssidieux, Guedj et Zeriahi ont introduit des énergies pondérés associées à des classes big. Sous certaines hypothèses naturelles, on d ́emontre que ces énergies sont ́egalement des invariants par biméromorphisme. Nous étudions également les mesures de probabilité à énergie finie (ce concept était introduit par Berman, Boucksom, Guedj et Zeriahi) et prouvons que cette notion est un invariant biholomorphe mais pas biméromorphe. Par ailleurs, nous donnons des critères pour s'assurer qu'une mesure donnée est à énergie finie. Nous étudions ensuite les équations de Monge-Ampère sur les variétés quasi-projectives. En particulier, on considère une variété kählerienne compacte, D un diviseur et on étudie l'équation (\omega+dd^c \varphi)^n= f\omega^n où f est lisse en dehors de D. Nous démontrons que l'unique solution \varphi (normalisée) est lisse en dehors de D (travail en collaboration avec Hoang Chinh Lu). La solution n'est pas bornée en general, et donc l'idée est de trouver la bonne fonction “modèle” (à priori singulière) qui est une borne inférieure de la solution. Pour faire cela on a introduit les capacités de Monge-Ampère géneralisées, et on les a utilisées en suivant l’approche de Kolodziej, qui, cependant est valable pour les fonctions globalement bornées uniquement. Ces capacités, qui généralisent la capacité de Bedford et Taylor, s' avèrent être le point clé pour étudier l’existence et la régularité des solutions des ́équations de Monge-Ampère du type (\omega+dd^c \varphi)^n= \exp{\lambda \varphi} \omega^n, \lambda\in \mathbb{R} où f a des singularités le long d'un diviseur. Nous traitons aussi des cas où f n'est pas intégrable, un problème important pour l'existence de metriques de Kähler-Einstein singulières sur des variétés du type general avec singularités de type log-canoniques.
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tel-01429436 , version 1 (08-01-2017)

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  • HAL Id : tel-01429436 , version 1

Cite

Eleonora Di Nezza. Geometry of complex Monge-Ampère equations on compact Kähler manifolds. Differential Geometry [math.DG]. Université Toulouse III Paul Sabatier; Università degli Studi di Roma Tor Vergata, 2014. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01429436⟩

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